Nombres en écriture fractionnaire

1 Quotient et fraction

Définition.

Le quotient du nombre a par le nombre b est le résultat de la division de a par b.

C’est le nombre qui, multiplié par b donne a. On peut le noter $\cfrac{a}{b}$

$\cfrac{a}{b}\times b=a$

Lorsque les nombres a et b sont entiers, on dit que $\cfrac{a}{b}$ est une fraction.

Exemple.

$6\div5=1,2$
1,2 est le quotient de 6 par 5. On peut le noter $\cfrac{6}{5}$ .

Application.

L’aire du rectangle se mesure en prenant $\cfrac{1}{3}$ de l’unité.

L’aire mesure $5\times\cfrac{1}{3}=\cfrac{5}{3}$ unité.

2 Fractions égales

Définition.

Deux fractions sont égales lorsqu’elles mesurent, dans la même unité, la même grandeur.

Exemple.

Les fractions $\cfrac{3}{2}$ et $\cfrac{6}{4}$ mesurent l’aire du rectangle.

Méthode.

Pour simplifier une fraction, on divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre entier.

Exemples.

$\cfrac{15}{27}=\cfrac{15\div3}{27\div3}=\boxed{\cfrac{5}{9}}\quad;\quad\cfrac{8\times7}{5\times8}=\boxed{\cfrac{7}{5}}$

Remarque.

$\cfrac{-a}{b}=\cfrac{a}{-b}=-\cfrac{a}{b}$

3 Produits en croix

Méthode.

Pour tester si deux fractions $\cfrac{a}{b}$ et $\cfrac{c}{d}$ sont égales on teste si les produits en croix $a\cdot d$ et $b\cdot c$ sont égaux.

Exemple.

Tester si $\cfrac{901}{1007}$ et $\cfrac{1003}{1121}$ sont égales.
Les produits en croix sont $901\times1121=\boxed{1010021}$ et $1007\times1003=\boxed{1010021}$
ils sont égaux donc $\cfrac{901}{1007}=\cfrac{1003}{1121}$ .

4 Addition et soustraction

4.1 Dénominateurs égaux

Méthode.

Pour comparer deux fractions dont les dénominateurs ont égaux et positifs, on compare leurs numérateurs, l’ordre est conservé.

Exemple.

$\cfrac{-11}{14}<\cfrac{5}{14}$ car $-11<5$

Méthode.

Pour additionner deux fractions dont les dénominateurs sont égaux, on additionne leurs numérateurs, on garde le dénominateur commun. Le principe est le même pour la soustraction.

Exemples.

$\cfrac{5}{3}+\cfrac{-12}{3}=\cfrac{5+(-12)}{3}=\boxed{\cfrac{-7}{3}}\quad;\quad\cfrac{13}{15}-\cfrac{5}{15}=\cfrac{13-5}{15}=\boxed{\cfrac{8}{15}}$

4.2 Cas général

Vocabulaire.

Mettre des fractions au même dénominateur signifie trouver des fractions qui leurs sont égales et dont les dénominateurs sont égaux.

Exemple.

Mettons les fractions $\cfrac{5}{9}$ et $\cfrac{-7}{12}$ au même dénominateur.

$\cfrac{5}{9}=\cfrac{5\times4}{9\times4}=\boxed{\cfrac{20}{\boldsymbol{36}}}\quad;\quad\cfrac{-7}{12}=\cfrac{-7\times3}{12\times3}=\boxed{\cfrac{-21}{\boldsymbol{36}}}$

Méthode.

Pour comparer ou additionner deux fractions , on met les fractions au même dénominateur.

Exemple.

$\cfrac{5}{9}+\cfrac{-7}{12}=\cfrac{5\times4}{9\times4}+\cfrac{-7\times3}{12\times3}=\cfrac{20}{36}+\cfrac{-21}{36}=\boxed{\cfrac{-1}{36}}$

5 Multiplication

Méthode.

Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et on multiplie les dénominateurs entre eux.

Exemple.

$\cfrac{3}{5}\times\cfrac{-8}{7}=\cfrac{3\times(-8)}{5\times7}=\boxed{\cfrac{-24}{35}}$

Remarque.

Il faut penser à simplifier les fractions avant d’effectuer les produits

Exemple.

$\cfrac{6\times7}{5\times8}\times\cfrac{5}{6}=\cfrac{6\times7\times5}{5\times6\times8}=\boxed{\cfrac{7}{8}}$

6 Inverse d’un nombre

Définition.

Lorsqu’un produit est égal à 1, on dit que les facteurs sont inverses l’un de l’autre.

Exemple.

$0,2\times5=1$ on dit que 0,2 est l’inverse de 5 cela se note $5^{-1}=0,2$

Méthode.

Pour écrire l’inverse d’une fraction on échange le numérateur et le dénominateur

Exemples.

$\left(\cfrac{5}{3}\right)^{-1}=\cfrac{3}{5}\qquad;\qquad\left(\cfrac{1}{6}\right)^{-1}=6\qquad;\qquad8^{-1}=\cfrac{1}{8}$

7 Division

Méthode.

Pour diviser deux fractions on multiplie la première à l’inverse de la seconde.

Exemple.

$\cfrac{8}{7}/\cfrac{5}{3}=\cfrac{8}{7}\times\cfrac{3}{5}=\cfrac{8\times3}{7\times5}=\boxed{\cfrac{24}{35}}$

Notation.

$\cfrac{\quad\cfrac{1}{2}\quad}{\cfrac{3}{4}}=\cfrac{1}{2}/\cfrac{3}{4}\qquad;\qquad\cfrac{\quad1\quad}{\cfrac{3}{4}}=1/\cfrac{3}{4}\qquad;\qquad\cfrac{\quad\cfrac{1}{2}\quad}{3}=\cfrac{1}{2}/3$