La fraction mystère

23 décembre 202323 décembre 2023 Dugast Problèmes Fin 6e | Début 5e

Trouver une fraction comprise entre $\cfrac{3}{4}$ et $\cfrac{5}{6}$ telle que la somme de son numérateur et de son dénominateur est égale à 16.

Enquête sur trois mathématiciens

17 décembre 202317 décembre 2023 Dugast Problèmes Fin 6e | Début 5e

Ptolémée, Euclide et Apollonius sont trois mathématiciens de la Grèce antique. L’un est né à Perge, un autre à Canope, l’autre à Athènes. L’un est né vers 100 avant J.C. un autre vers 262 avant J.C. l’autre vers 350 avant J.C.

Il faut associer à chaque mathématicien son lieu et son année de naissance en utilisant les informations suivantes :

En 262 avant J.C. naquit l’un d’eux mais ce n’était pas Euclide.
Ptolémée est né à Canope mais ce n’est pas le plus ancien.

Enigme tirée du site integramme.fr

Un angle au sommet d’un carré

9 décembre 202315 janvier 2024 Dugast Problèmes Fin 6e | Début 5e

ABCD est un carré, E est un point du côté [AB] tel que l’angle $\widehat{BEC}=55^\circ$ . Le segment [EC] coupe la diagonale [BD] en F. Calculer l’angle $\widehat{BAF}$ .

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Utiliser un axe de symétrie de la figure.

Le triangle bordé

3 décembre 2023 Dugast Problèmes Fin 4e | Début 3e

On considère le triangle ABC rectangle en A tel que $AB=4\,cm$ ; $BC=5\,cm$ ; $CA=3\,cm$ ; et le triangle A’B’C’ dont les côtés sont respectivement parallèles à ceux de ABC avec une distance de $1\,cm$ .

Calculer les longueurs des côtés du triangle A’B’C’.

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On construit la perpendiculaire à (AC) passant par C, elle coupe [A’C’] en N et [B’C’] en T. On abaisse la perpendiculaire à (BC) du point T, elle coupe [BC] en R.

Dans les triangles rectangles RCT et ABC on a $\widehat{RTC}=\widehat{ACB}$ donc ces triangles sont semblables d’où $CT=\cfrac{5}{3}\,cm$ .

$NT=NC+CT=1+\cfrac{5}{3}=\cfrac{8}{3}\,cm$

Dans les triangles rectangles NTC’ et ABC on a $\widehat{C'}=\widehat{ACB}$ donc ces triangles sont semblables donc $\cfrac{NC'}{AC}=\cfrac{NT}{AB}$ et $NC'=\cfrac{3}{4}\times\cfrac{8}{3}=2\,cm$ .

$A'C'=1+AC+NC'=1+3+2=6\,cm$ , donc les triangles ABC et A’B’C’ sont semblables dans le rapport $\cfrac{A'C'}{AC}=2$ , on a $A'B'=2\times 4=8\,cm$ et $B'C'=2\times 5=10\,cm$ .

Les naufragés

12 octobre 202312 octobre 2023 Dugast Problèmes Fin 4e | Début 3e

Un navire a des vivres pour 60 jours. Il recueille 30 naufragés et il ne reste plus alors des vivres que pour 50 jours.

Combien de personnes avait-il d’abord ?

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Le navire comptait 150 personnes à bord. Le nombre de personnes et le nombre de jours de vivres sont inversement proportionnels, on peut vérifier : $150\times 60=180\times 50=900$ .

Pour trouver la réponse on inverse le rapport 6:5 des nombres de jours de vivres, on obtient le rapport 5:6 des nombres de personnes à bord. Comme le nombre de personnes augmente de 1/5 soit 30 personnes, le nombre initial de personnes à bord était donc de $30\times 5=150$ .

La somme des parallèles

27 septembre 202323 décembre 2023 Dugast Problèmes Fin 5e | début 4e

ABCD est un trapèze de bases $AB=7\,cm$ et $CD=3\,cm$ . On construit neuf parallèles aux bases équidistantes entre elles

Calculer la somme des longueurs des segments parallèles (bases comprises).

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On construit le trapèze BD’A’C qui est le symétrique de ABCD par rapport au milieu J de [BC]. Les 11 segments parallèles se prolongent en des segments de même longueur $3+7=10\,cm$ . Leur somme est égale à $11\times 10=110\,cm$ , donc la somme des premiers segments est égale à la moitié soit $55\,cm$ .

La transversale équitable

26 septembre 202326 septembre 2023 Dugast Problèmes Fin 4e | Début 3e

Dans un triangle ABC, une parallèle à (BC) coupe le côté [AB] en D et coupe le côté [AC] en E. De plus on a $AD=EC$ .

(a) Si on donne $AB=6\,cm$ ; $AC=9\,cm$ ; $BC=10\,cm$ ; calculer $AC$ .

(b) Dans le cas général, trouver une construction géométrique du point D.

Les trois multiples

16 septembre 202316 septembre 2023 Dugast Problèmes Fin 6e | Début 5e

Thea a écrit trois nombres l’un à la suite des autres sans espace.

134732845512

Retrouve chaque nombre sachant que l’un est divisible par 5, l’autre par 8 et le dernier par 9.

Le quart de disque inscrit

14 septembre 202326 septembre 2023 Dugast Problèmes Fin 4e | Début 3e

Dans la figure suivante, le quart de disque bleu est inscrit dans le grand cercle.

Comparer la surface bleue et la surface rouge.

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Si un carré est inscrit dans un cercle, alors le centre du carré et le centre du cercle sont confondus.

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On considère le carré ABCD qui complète l’angle droit inscrit. Ses diagonales [AC] et [BD] sont perpendiculaires égales et se coupent en leur milieu O qui est encore le centre du cercle.

On choisit comme unité de longueur le rayon $OA$ du cercle. On sait que le triangle OAD est rectangle en O, d’après le théorème de Pythagore, $AD^2=AO^2+OD^2=1+1=2$ d’où $AD=\sqrt{2}$ .

L’aire bleue est un quart de disque de rayon $\sqrt{2}$ l’aire est égale à $\cfrac{2\pi}{4}=\cfrac{\pi}{2}$

L’aire du disque dans lequel s’inscrit ABCD est égale à $\pi$ donc, par soustraction, l’aire rouge est égale à $\cfrac{\pi}{2}$ , elle est donc égale à l’aire bleue.

Un angle constant

6 septembre 202323 décembre 2023 Dugast Problèmes Fin 4e | Début 3e

ABC est un triangle isocèle en C. Le point D est l’image du point C par la rotation de centre A et d’angle $60^\circ$ dans le sens horaire. On suppose D situé de même côté de $(AB)$ que C.

Calculer l’angle $\widehat{ABD}$ .

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Le triangle ACD est isocèle en A donc $\widehat{ADC}=\widehat{ACD}$ or $\widehat{CAD}=60^\circ$ donc $\widehat{ADC}=\widehat{ACD}=(180^\circ-60^\circ)\div 2=60^\circ$ . Par conséquent ACD est équilatéral.

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Soit $a=\widehat{BAD}$ , le triangle ABC est isocèle en C donc $\widehat{ABC}=\widehat{BAC}=60^\circ+a$ , et $\widehat{ACB}=180^\circ-2(60^\circ+a)=60^\circ-2a$ .