Puissances et racines carrées

1 Puissance d’exposant positif

Définition.

soit a un nombre relatif, et n un entier positif. On note $a^{n}$ le produit $a\times a\times...\times a$ dont les n facteurs sont égaux.

Exemples.

$2^{3}=2\times2\times2=8\quad;\quad(-3)^{4}=(-3)\times(-3)\times(-3)\times(-3)=+81$

Vocabulaire.

la notation $a^{n}$ est une puissance de a, l’entier n est l’exposant.

Exemple.

$3^{1}\;;\;3^{2}\;;\;3^{3}\;;\;3^{4}$ sont des puissances de 3, leurs exposants respectifs sont 1, 2, 3 et 4.

Cas particuliers.

• $10^{n}=1000...000$ on compte n zéros.
• Si a est non nul, $a^{0}=1$ .

2 Exposant négatif

Définition.

soit a un nombre relatif non nul, et n un entier positif. On note $a^{-n}$ le nombre $\cfrac{1}{a^{n}}$ c’est à dire l’inverse de $a^{n}$ .

Exemples.

$2^{-3}=\cfrac{1}{2^{3}}=\cfrac{1}{8}\quad;\quad(-3)^{-4}=\cfrac{1}{(-3)^{4}}=\cfrac{1}{81}$

Cas particulier.

$10^{-n}=0,000...0001$ on compte n zéros.

3 Puissances d’un même nombre

Formules.

soit a un nombre non nul, soient n et p deux entiers relatifs.
$\boxed{a^{n}\times a^{p}=a^{n+p}}\qquad;\qquad\boxed{\cfrac{a^{n}}{a^{p}}=a^{n-p}}$

Exemples.

$2^{-5}\times2^{2}=2^{-5+2}=2^{-3}$ ;

$\cfrac{(-3)^{2}}{(-3)^{6}}=(-3)^{2-6}=(-3)^{-4}$

Remarque.

Il n’y a pas de formule semblable pour l’addition.

4 Exposants égaux

Formules.

Soient a et b deux nombres non nuls, soit n un entier relatif.
$\boxed{(a\times b)^{n}=a^{n}\times b^{n}}\qquad;\qquad\boxed{\left(\cfrac{a}{b}\right)^{n}=\cfrac{a^{n}}{b^{n}}}$

Exemples.

$2^{-4}\times5^{-4}=(2\times5)^{-4}=10^{-4}$

$\left(\cfrac{-3}{4}\right)^{2}=\cfrac{(-3)^{2}}{4^{2}}$

5 Puissance d’une puissance

Formule.

n et p désignent des entiers relatifs
$\boxed{\left(10^{n}\right)^{p}=10^{n\times p}}$

Exemple.

$\left(10^{-2}\right)^{6}=10^{-2\times6}=10^{-12}$

6 Multiplier par une puissance de 10

Méthode.

Soit n un entier positif,
• pour multiplier un nombre décimal par $10^{n}$ on décale la virgule de n rangs vers la droite.
• pour multiplier un nombre décimal par $10^{-n}$ on décale la virgule de n rangs vers la gauche.

Exemples.

$4,56\times10^{4}=45\,600$ ;

$678\times10^{-4}=0,0678$

7 Notation scientifique

Définition.

Une notation scientifique est un produit de la forme $a\times10^{n}$ avec : $1\leqslant a<10\qquad\textrm{et}\qquad n\textrm{ un entier relatif}$

Exemples.

$125\,000$ a pour notation scientifique $1,25\times10^{5}$
$0,00048$ a pour notation scientifique $4,8\times10^{-4}$

8 Encadrement

Remarque.

Soit $A=a\times10^{n}$ un nombre décimal écrit en notation scientifique.

$10^{n}\leqslant A<10^{n+1}$

Exemple.

Mercure est en moyenne à 57,9 millions de kilomètres du soleil, soit en mètres : $57\,900\,000\,000=5,79\times10^{10}$ .
Cette distance est comprise entre $10^{10}$ et $10^{11}$ mètres.

9 Racine carrée d’un nombre positif

Définition.

Soit a un nombre positif, la racine carrée de a est le nombre dont le carré est a. On le note $\sqrt{a}$

$\boxed{\left(\sqrt{a}\right)^{2}=a}$

Exemples.

$\sqrt{9}=3\textrm{ car }3^{2}=3\times3=9$

$\sqrt{\cfrac{1}{16}}=\cfrac{1}{4}\textrm{ car }\left(\cfrac{1}{4}\right)^{2}=\cfrac{1}{4}\times\cfrac{1}{4}=\cfrac{1}{16}$

Remarque.

L’opération $\boxed{\sqrt{x}}$ est la réciproque de l’opération $\boxed{x^{2}}$ .

10 Opérations

Formule.

$\boxed{\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{a\times b}}$

Application.

Calculer $A=\sqrt{3}\times\sqrt{27}$
$A=\sqrt{3\times27}=\sqrt{81}=9$

Formule.

$\boxed{\cfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\cfrac{a}{b}}}$

Application.

Calculer $B=\sqrt{50}/\sqrt{2}$
$B=\sqrt{\cfrac{50}{2}}=\sqrt{25}=5$

11 Simplification d’expression

Remarque.

La racine carré d’un entier peut s’écrire sous la forme $a\sqrt{b}$ avec a et b entiers.

Exemple.

$\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=\sqrt{4}\times\sqrt{3}=2\sqrt{3}$

Méthode.

On écrit, si possible, l’entier sous le symbole $\sqrt{\;}$ , comme le produit d’un carré parfait par un entier.

Application.

Simplifier la somme $C=\sqrt{50}+\sqrt{32}$
$C=\sqrt{25\times2}+\sqrt{16\times2}$
$C=\sqrt{25}\times\sqrt{2}+\sqrt{16}\times\sqrt{2}$
$C=5\sqrt{2}+4\sqrt{2}$
$C=9\sqrt{2}$