Le triangle

Sommaire

Vocabulaire
Triangles égaux
Le triangle isocèle
Inégalités dans le triangle
Angles
Cercle circonscrit
Théorèmes des milieux
Centre de gravité
Triangles équivalents
Le triangle rectangle
Cercle inscrit
Orthocentre
Théorème de Thalès
Triangles semblables
Preuves
Compléments
Ordre logique des théorèmes

1. Vocabulaire

Un triangle est un polygone ayant trois côtés. Dans le triangle ABC, les points A, B et C sont les sommets, les segments [AB], [BC] et [CA] sont les côtés, les angles saillants $\widehat{CAB}$ , $\widehat{ABC}$ et $\widehat{BCA}$ sont les angles intérieurs, on les note respectivement $\widehat{A}$ , $\widehat{B}$ et $\widehat{C}$ .

triangle

Les segments [AB] et [AC] sont les côtés adjacents à l’angle $\widehat{A}$ , le segment [BC] est le côté opposé à l’angle $\widehat{A}$ .

Un triangle plat a ses trois sommets alignés.

trianglePlat

On appelle vrai triangle un triangle dont les sommets ne sont pas alignés.

triangleVrai

Un triangle rectangle a un angle droit. Le côté opposé à l’angle droit est l’hypoténuse, les angles adjacents à l’angle droit sont les cathètes.

triangleRectangle

Un triangle équilatéral a trois côtés égaux.

triangleEqulateral

Un triangle isocèle a (au moins) deux côtés égaux. Lorsque seuls deux côtés sont égaux, leur sommet commun est dit principal, le troisième côté est la base.

triangleIsocele

Compléments…

2. Triangles égaux

Définition. Deux triangles égaux ont les côtés égaux (chacun à chacun) et les angles égaux (chacun à chacun). Les triangles ABC et A’B’C’ sont égaux, on a :

$BC=B'C\; ;\;CA=C'A'\; ;\;AB=A'B'$

$\widehat{A}=\widehat{A'}\; ;\;\widehat{B}=\widehat{B'}\; ;\;\widehat{C}=\widehat{C'}$

trianglesEgaux

Remarque. Dans deux triangles égaux, les angles égaux sont opposés aux côtés égaux.

Les « cas d’égalité » suivants sont des conditions suffisantes pour que deux triangles soient égaux.

Premier cas d’égalité. Si deux triangles ont un angle égal compris entre deux côtés respectivement égaux alors les deux triangles sont égaux.

Si $\widehat{A}=\widehat{A'}\; ;\; AB=A'B'$ et $AC=A'C'$ alors $BC=B'C'\; ;\;\widehat{C}=\widehat{C'}$ et $\widehat{B}=\widehat{B'}$

casEgalite1

On admet sans preuve ce premier cas d’égalité.

Deuxième cas d’égalité. Si deux triangles ont un côté égal adjacent à deux angles respectivement égaux alors les deux triangles sont égaux.

Si $BC=B'C'\; ;\;\widehat{B}=\widehat{B'}$ et $\widehat{C}=\widehat{C'}$ alors $\widehat{A}=\widehat{A'}\; ;\; AC=A'C'$ et $AB=A'B'$

casEgalite2

Preuve.

Application.Des segments de droites parallèles compris entre deux droites parallèles sont égaux, autrement dit, les côtés opposés d’un parallélogramme sont égaux.

segmentsParalleles

Preuve.

Troisième cas d’égalité. Si deux triangles ont les côtés égaux (chacun à chacun) alors les deux triangles sont égaux.

Si $BC=B'C'\; ;\;AC=A'C'$ et $AB=A'B'$ alors $\widehat{A}=\widehat{A'}\; ; \;\widehat{B}=\widehat{B'}$ et $\widehat{C}=\widehat{C'}$

casEgalite3

Preuve.

Compléments…

3. Le triangle isocèle

Théorème. Si un triangle a deux côtés égaux alors les angles opposés sont égaux.

triangleIsoceleAngles

Réciproquement, si un triangle a deux angles égaux alors les côtés opposés sont égaux.

Preuve.

Conséquence. Dans un triangle équilatéral les trois angles sont égaux. Réciproquement si un triangle a trois angles égaux alors c’est un triangle équilatéral.

triangleEquiangle

Théorème. Dans un triangle, si deux côtés sont égaux alors la droite qui passe par leur sommet commun et le milieu du côté opposé est perpendiculaire à ce côté.

triangleIsoceleHauteur

Réciproquement, si la droite qui passe par un sommet et par le milieu du côté opposé est perpendiculaire à ce côté alors les deux autres côtés sont égaux.

Preuve.

Compléments…

4. Inégalités dans le triangle

Théorème. Dans un vrai triangle, un côté quelconque est inférieur à la somme des deux autres et supérieur à leur différence.

triangle

$BC<BA+AC\; ;\;AC<AB+BC\; ;\;AB<AC+CB$

$BC>AB-AC\; ;\;AC>BC-BA\; ;\;AB<BC-AC$

Preuve.

Remarque. On donne trois longueurs, si la plus grande est inférieure à la somme des deux autres alors on peut construire un triangle dont les côtés sont égaux à ses longueurs.

Compléments…

5. Angles

Axiome. Par un point extérieur à une droite il ne passe qu’une seule droite parallèle à cette droite.

Théorème. Dans un triangle, la somme des angles (intérieurs) est égale à un angle plat.

sommeAngles

Preuve.

Conséquence. Si deux triangles ont deux angles respectivement égaux et le côté opposé à l’un des angles égal alors les deux triangles sont égaux.

Compléments…

6. Cercle circonscrit

Rappel. Si un point est sur la médiatrice d’un segment alors il est équidistant des extrémités de ce segment.

mediatrice

Réciproquement, si un point est équidistant des extrémités d’un segment alors il est sur la médiatrice de ce segment.

Remarque. c’est une reformulation du théorème relatif à l’axe d’un triangle isocèle.

Théorème. Dans un triangle, les médiatrices des côtés sont concourantes, le point de concours est le centre du cercle circonscrit au triangle.

cercleCirconscrit

Preuve.

7. Théorèmes des milieux

Théorème 1. Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et si elle est parallèle à un deuxième côté alors elle passe par le milieu du troisième côté.

theoremeMilieux1

Preuve.

Théorème 2. Dans un triangle, si une droite passe par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au troisième côté.

theoremeMilieux2

Preuve.

Théorème 3. Dans un triangle, le segment qui joint les milieux de deux côtés est égal à la moitié du troisième côté.

theoremeMilieux3

Preuve.

Définition. Le triangle IJK dont les sommets sont les milieux des côtés du triangle ABC s’appelle le triangle médian du triangle ABC.

8. Centre de gravité

Définition. Dans un triangle, la médiane issue d’un sommet est la droite ou le segment qui joint ce sommet au milieu du côté opposé.

mediane

Théorème. Dans un triangle, les médianes se coupent en un point situé au tiers de chacune d’elles à partir du côté correspondant.

concoursMedianes

Preuve.

Remarque. Le point de concours est le centre de gravité de la surface intérieure au triangle.

Compléments…

9. Triangles équivalents

Définition. Deux triangles équivalents sont deux triangles qui ont des aires égales.

Principes.

Deux triangles égaux ont des aires égales
Si deux polygones se décomposent en triangles respectivement équivalents alors les deux polygones ont des aires égales.
Si deux triangles s’adjoignent à des triangles équivalents en formant des polygones d’aires égales alors les deux premiers triangles sont équivalents.

Définition. Dire qu’un triangle a pour base b et pour hauteur h signifie qu’un côté a pour longueur b et que le somme opposé est à la distance h de ce côté.

triangleBaseHauteur

Théorème. Si deux triangles ont des bases et hauteurs respectivement égales alors ces triangles sont équivalents.

trianglesEquivalents

10. Le triangle rectangle

Théorème. Dans un triangle rectangle l’hypoténuse est le côté le plus long.

Preuve.

Premier cas d’égalité. Si deux triangles rectangles ont l’hypothénuse égal et un angle aigu égal alors ils sont égaux.

Preuve.

trianglesRectanglesEgaux1

Deuxième cas d’égalité. Si deux triangles rectangles ont l’hypothénuse égal et un autre côté égal alors ils sont égaux.

trianglesRectanglesEgaux2

Preuve.

Théorème. Dans un triangle rectangle la médiane issue du sommet de l’angle droit mesure la moitié de l’hypoténuse.

triangleRectangleMediane

Preuve.

Remarque. Dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse.

triangleRectangleCercleCirc

Théorème. Dans un cercle, si un triangle a pour sommets un point du cercle et les extrémités d’un diamètre alors le triangle est rectangle.

triangleRectangleCercle

Preuve.

Théorème. Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Réciproquement, dans un triangle, si le carré d’un côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés alors le triangle est rectangle.

pythagore

Preuve.

11. Cercle inscrit

Rappel. A l’intérieur d’un angle, si un point est sur la bissectrice de l’angle alors il est équidistant des côtés.

bissectriceEquidistance

Réciproquement, à l’intérieur d’un angle, si un point est équidistant des côtés alors il est sur la bissectrice de cet angle.

Preuve.

Théorème. Dans un triangle, les bissectrices des angles intérieurs sont concourantes, le point de concours est le centre du cercle inscrit dans le triangle.

cercleInscrit

Preuve.

Compléments…

12. Orthocentre

Définition. Dans un triangle, la hauteur issue d’un sommet est la droite ou le segment qui joint ce sommet au côté opposé perpendiculairement.

hauteurTriangleA

Remarque. On peut avoir à prolonger un côté pour obtenir le pied de la hauteur.

hauteurTriangleB

Théorème. L’aire d’un triangle est égale au demi-produit d’un côté par le hauteur qui lui est perpendiculaire.

Preuve.

Théorème. Dans un triangle, les hauteurs sont concourantes, le point de concours est appelé orthocentre du triangle.

orthocentre

Preuve.

Compléments…

13. Théorème de Thalès

Théorème. Dans un triangle ABC, si une droite parallèle à (BC) coupe [AB] en un point E et [AC] en un point F alors on a :

$\cfrac{AE}{AB}=\cfrac{AF}{AC}=\cfrac{EF}{BC}$

thales

Réciproquement, si une droite coupe [AB] en un point E et [AC] en un point F avec

$\cfrac{AE}{AB}=\cfrac{AF}{AC}$

alors cette droite (EF) est parallèle à (BC).

Preuve.

Compléments…

14. Triangles semblables

Définition. Deux triangles semblables ont les angles égaux (chacun à chacun) et les côtés proportionnels (chacun à chacun). Les triangles ABC et A’B’C’ sont semblables, on a :

$\widehat{A}=\widehat{A'}\; ;\;\widehat{B}=\widehat{B'}\; ;\;\widehat{C}=\widehat{C'}$

et $\cfrac{AB}{A'B'}=\cfrac{BC}{B'C'}=\cfrac{CA}{C'A'}$

trianglesSemblables

Un coefficient de proportionnalité entre les côtés de l’un des triangles et les côtés de l’autre est appelé rapport de similitude.

Remarque. Dans deux triangles semblables, les côtés proportionnels sont opposés aux angles égaux.

Les « cas de similitudes » suivants sont des conditions suffisantes pour que deux triangles soient semblables.

Premier cas de similitude. Si deux triangles ont deux angles respectivement égaux alors ils sont semblables.

Si $\widehat{A}=\widehat{A'}$ et $\widehat{B}=\widehat{B'}$ alors $\widehat{C}=\widehat{C'}$ et $\cfrac{AB}{A'B'}=\cfrac{BC}{B'C'}=\cfrac{CA}{C'A'}$

casSimilitude1

Preuve.

Deuxième cas de similitude. Si deux triangles ont un angle égal compris entre deux côtés respectivement proportionnels alors les triangles sont semblables.

Si $\widehat{A}=\widehat{A'}$ et $\cfrac{AB}{A'B'}=\cfrac{AC}{A'C'}$ alors $\widehat{B}=\widehat{B'}\; ;\;\widehat{C}=\widehat{C'}$ et $\cfrac{AB}{A'B'}=\cfrac{BC}{B'C'}=\cfrac{CA}{C'A'}$

casSimilitude2

Preuve.

Troisième cas de similitude. Si un deux triangles ont trois côtés respectivement proportionnels alors les triangles sont semblables.

Si $\cfrac{AB}{A'B'}=\cfrac{BC}{B'C'}=\cfrac{CA}{C'A'}$ alors $\widehat{A}=\widehat{A'}\; ;\;\widehat{B}=\widehat{B'}$ et $\widehat{C}=\widehat{C'}$

casSimilitude3

Preuve.

Compléments…

15. Preuves

15.2 Triangles égaux

Deuxième cas d’égalité.

Soient les triangles ABC et EFG tels que $BC=FG\; ;\;\widehat{B}=\widehat{F}$ et $\widehat{C}=\widehat{FGE}$ .

On place sur la demi-droite [FE) le point A’ tel que $FA'=BA$

casEgalite2Preuve

Dans le triangle FA’G, on a $\widehat{F}=\widehat{B}\; ;\; FA'=BA$ et $FG=BC$ , c’est le premier cas d’égalité des triangles, donc les triangles FA’G et BAC sont égaux.

Par conséquent, l’angle $\widehat{FGA'}$ est égal à l’angle $\widehat{C}$ tout comme l’angle $\widehat{FGE}$ , d’où les points E et A’ sont confondus et le triangle EFG est égal au triangle ABC.

Egalité des segments parallèles

Les segments [AB] et [CD] de droites parallèles sont compris entre les droites parallèles $(AD)$ et $(BC)$ .

segmentsParallelesPreuve1

La droite $(AC)$ coupe les droites parallèles $(AD)$ et $(BC)$ , or si une droite coupe des droites parallèles alors elle forme des angles alternes-internes égaux, donc $\widehat{ACB}=\widehat{CAD}$ .

On montre de même que $\widehat{CAB}=\widehat{ACD}$ .

segmentsParallelesPreuve2

Dans les triangles ABC et CDA on a : $\widehat{ACB}=\widehat{CAD}$ , $\widehat{CAB}=\widehat{ACD}$ et le côté $[AC]$ commun, c’est le deuxième cas d’égalité, donc les triangles ABC et CDA sont égaux et $AB=CD$ .

Troisième cas d’égalité.

Soient les triangles ABC et EFG tels que $AB=EF\; ;\;BC=FG$ et $CA=GE$ . A partir de la demi-droite [EG) et de l’autre côté que F, on construit le point B’ tel que $\widehat{B'EG}=\widehat{BAC}$ et $EB'=AB$ .

casEgalite3PreuveA

Dans le triangle EB’G, on a :

$\widehat{B'EG}=\widehat{BAC}\; ;\; EG=AC\; ;\;EB'=AB$

donc on est dans le premier cas d’égalité et les triangles EB’G et ABC sont égaux.

Pour terminer la preuve, il suffit de montrer que les triangles EFG et EB’G sont égaux.

casEgalite3PreuveB

On utilise le théorème relatif aux angles d’un triangle isocèle.

Dans le triangle FEB’ on a $EF=EB'$ donc $\widehat{EFB'}=\widehat{EB'F}$ .

Dans le triangle FGB’ on a $GF=GB'$ donc $\widehat{GFB'}=\widehat{GB'F}$ .

Des égalités précédentes on déduit $\widehat{EFG}=\widehat{EB'G}$ , or $EF=EB'$ et $GF=GB'$ , c’est le premier cas d’égalité, donc les triangles EFG et EB’G sont égaux.

15.3 Le triangle isocèle

Théorème relatif aux angles d’un triangle isocèle
Soit ABC un triangle isocèle en A, on construit le triangle A’B’C’ tel que $\widehat{A}=\widehat{A'}\; ;\; AB=A'B'$ et $AC=A'C'$ .

trianglesIsocelesA

C’est le premier cas d’égalité donc A’B’C’ est égal à ABC avec :

$A'B'=AB\; ;\; A'C'=AC\; ;\; B'C'=BC$

$\widehat{A'}=\widehat{A}\; ;\; \widehat{B'}=\widehat{B}\; ;\; \widehat{C'}=\widehat{C}$

Or $AB=AC$ donc $A'B'=AC$ et $A'C'=AB$ , par conséquent A’C’B’ est égal au triangle ABC avec la signification suivante :

$A'B'=AC\; ;\; A'C'=AB\; ;\; BC=B'C'$

$\widehat{A'}=\widehat{A}\; ;\; \widehat{B'}=\widehat{C}\; ;\; \widehat{C'}=\widehat{B}$

trianglesIsocelesB

Finalement $\widehat{B}=\widehat{C'}=\widehat{C}$ ce qui prouve le sens direct du théorème.

La réciproque se démontre de façon semblable en utilisant le deuxième cas d’égalité.

Théorème relatif à l’axe d’un triangle isocèle.
Soit ABC un triangle isocèle en A et I le milieu de [BC].

triangleIsoceleHauteur

Les triangles AIB et AIC ont les côtés égaux chacun à chacun, c’est le troisième cas d’égalité, donc les triangles AIB et AIC sont égaux et les angles supplémentaires $\widehat{AIB}$ et $\widehat{AIC}$ sont égaux, par conséquent ces angles sont droits.

On démontre la réciproque de façon semblable en utilisant le premier cas d’égalité.

15.4 Inégalités dans le triangle

Inégalités triangulaires.
Soit ABC un vrai triangle, montrons que $BC<BA+AB$ .

On prolonge le côté [BA] d’un segment [AD] égal à [AC], ainsi le triangle CAD est isocèle en A et d’après le théorème relatif aux angles d’un triangle isocèle, on a $\widehat{ACD}=\widehat{CDA}$ .

inegaliteTriangulaire

Or $\widehat{BCD}>\widehat{ACD}$ , par conséquent dans le triangle BCD, l’angle en C est supérieur à l’angle en D, un théorème permet d’en déduire que le côté opposé à C est supérieur au côté opposé à D, c’est à dire $BD>BC$ .

Par construction $BD=BA+AC$ , donc on a établit que $BC<BA+AC$ .

On montre de même que $AB < AC+CB$ et que $AC < AB+BC$ .

On obtient l’inégalité $AB<BC-AC$ à partir de $BC<BA+AC$ en soustrayant AC dans chaque membre. On démontre les autres de façon semblable.

15.5 Angles

Sommes des angles.
Soit $[Ax)$ la demi-droite telle que $\widehat{BAx}=\widehat{ABC}$ ces angles étant situés de part et d´autre de $(AB)$ . Soit $[Ax')$ la demi-droite telle que $\widehat{CAx'}=\widehat{ACB}$ ces angles étant situés de part et d´autre de $(AC)$ .

sommeAngles

La droite $(AB)$ coupe les droites $(BC)$ et $(Ax)$ en formant les angles $\widehat{BAx}$ et $\widehat{ABC}$ alternes-internes égaux, or si une droite coupe deux droites en formant des angles-alternes égaux alors ces droites sont parallèles, donc $(BC)//(Ax)$ .

On montre de même que $(BC)//(Ax')$ .

Les droites $(Ax)$ et $(Ax')$ sont parallèles à $(BC)$ et passent par le point A donc, d’après l’axiome des parallèles, les demi-droites $[Ax)$ et $[Ax')$ sont dans le prolongement l’une de l’autre, autrement dit l’angle $\widehat{xAx'}$ est plat.

Par conséquent, $\widehat{BAx}+\widehat{BAC}+\widehat{CAx'}$ est égale à un angle plat, c’est à dire $\widehat{ABC}+\widehat{BAC}+\widehat{ACB}$ est égale à un angle plat.

15.6 Cercle circonscrit

Concours des médiatrices.
Soit ABC un triangle, les médiatrices des côtés $[BC]$ et $[AC]$ se coupent au point O.

concoursMediatrices

O est sur la médiatrice de $[BC]$ donc d’après la caractérisation de la médiatrice on a $OB = OC$ .

O est sur la médiatrice de $[AC]$ donc on a de même $OC = OA$ , par conséquent $OB = OA$ et le sens réciproque de cette même caractérisation permet de conclure que O est sur la médiatrice de $[AB]$ .

15.7 Théorème des milieux

Premier théorème des milieux.
Soit ABC un triangle, K est le milieu de $[AB]$ , la parallèle à $(BC)$ passant par K coupe $[AC]$ en E, la parallèle à $(AB)$ passant par E coupe $[AC]$ en F.

theoreme1milieux1

(1) Un côté égal.
Les segments $[KB]$ et $[EF]$ de droites parallèles sont compris entre des droites parallèles donc, d’après le théorème des segments parallèles, $EF=KB$ . Or $KB=AK$ donc $EF=AK$ .

theoreme1milieux2

(2) Des angles égaux.
La droite $(AC)$ coupe les droites parallèles $(EF)$ et $(AB)$ , or si une droite coupe des droites parallèles alors elle forme des angles correspondant égaux, donc $\widehat{KAE}=\widehat{FEC}$ .

On montre de même les égalités : $\widehat{AKE}=\widehat{ABC}$ et $\widehat{EFC}=\widehat{ABC}$ , on en déduit $\widehat{EFC}=\widehat{AKE}$ .

theoreme1milieux3

(3) deux triangles égaux.
Dans les triangles AKE et EFC, on a : $KB=EF$ , $\widehat{KAE}=\widehat{FEC}$ et $\widehat{EFC}=\widehat{AKE}$ , c’est le deuxième cas d’égalité, donc $AE=EC$ , par conséquent E est le milieu de $[AC]$ .

Deuxième théorème des milieux.
Soit ABC un triangle, K est le milieu de $[AB]$ , J est le milieu de $[AC]$ et $(a)$ est la parallèle à $(BC)$ passant par K.

theoreme2milieux

Dans le triangle ABC, la droite $(a)$ est parallèle à $(BC)$ et passe par le milieu K de $[AB]$ donc, d’après le premier théorème des milieux, $(a)$ passe par le milieu J de $[AC]$ , autrement dit $(JK)//(BC)$ .

Troisième théorème des milieux.
Soit ABC un triangle, K est le milieu de $[AB]$ , J est le milieu de $[AC]$ , I est le milieu de $[BC]$ .

theoreme3milieux1

(1) Les droites parallèles.
Dans le triangle ABC, K est le milieu de $[AB]$ et J est le milieu de $[AC]$ donc, d’après le deuxième théorème des milieux, $(JK)//(BC)$ .

On montre de même que $(IK)//(AC)$ .

(2) Les angles égaux.
La droite $(AB)$ coupe les droites parallèles $(KJ)$ et $(BC)$ , or si une droite coupe des droites parallèles alors elle forme des angles correspondant égaux, donc $\widehat{AKJ}=\widehat{KBI}$ .

On montre de même que $\widehat{JAK}=\widehat{IKB}$ .

theoreme3milieux2

(3) Les triangles égaux.
Dans les triangles AKJ et KBI, on a : $AK=KB$ , $\widehat{AKJ}=\widehat{KBI}$ et $\widehat{JAK}=\widehat{IKB}$ , c’est le deuxième cas d’égalité, donc les triangles AKJ et KBI sont égaux.

Finalement, $KJ=BI$ et $KJ$ est égal à la moitié de $BC$ .

15.8 Centre de gravité

Concours des médianes.

Dans un triangle ABC, on nomme G le point d’intersection des médianes [BJ] et [CK], D est le milieu de [BG] et E le milieu de [CG].

medianesPreuveA

Dans le triangle ABC, d’après les premier et troisième théorèmes des milieux, (JK)//(BC) et $JK=\cfrac{1}{2}BC$ .

Dans le triangle GBC, d’après les mêmes théorèmes des milieux, (DE)//(BC) et $DE=\cfrac{1}{2}BC$ .

Par conséquent, dans le quadrilatère (non croisé) JKDE, les côtés opposés [JK] et [DE] sont parallèles et égaux, d’où JKDE est un parallélogramme, d’après le théorème relatif aux diagonales d’un parallélogramme, on a $JG=GD=DB$ et $KG=GE=EC$ .

Il suit que le point G est situé au deux tiers des médianes [BJ] et [CG].

On montre de même qu’en général deux médianes d’un triangle se coupent aux deux-tiers, d’où les trois médianes sont concourantes.

15.10 Le triangle rectangle

Le plus long côté d’un triangle rectangle.

plusLongCotePreuve

Premier cas d’égalité des triangles rectangles.

Deuxième cas d’égalité des triangles rectangles.

Médiane issue du sommet de l’angle droit.

triangleRectangleMedianePreuve

Triangle inscrit dans un demi-cercle.

triangleRectangleCerclePreuve

Théorème de Pythagore.

pythagorePreuve

15.11 Cercle inscrit

Caractérisation de la bissectrice.
Soit E un point situé sur la bissectrice intérieure de l’angle $\widehat{xAy}$ . La perpendiculaire à $[Ax)$ passant par E coupe $[Ax)$ en B, la perpendiculaire à $[Ay)$ passant par E coupe $[Ay)$ en C.

bissectricePreuve

Les triangles ABE et ACE sont rectangles en respectivement B et C, ils ont le côté $[AE]$ commun et les angles $\widehat{BAE}$ , $\widehat{CAE}$ égaux, c’est le premier cas d’égalité des triangles rectangles, donc les triangle AEB et AEC sont égaux et $EB = EC$

La réciproque se démontre de façon semblable en utilisant le deuxième cas d’égalité des triangles rectangles.

Concours des bissectrices.
Soit ABC un triangle, les bissectrices intérieures des angles $\widehat{A}$ et $\widehat{B}$ se coupent au point $\Omega$ .

inscritPreuve

$\Omega$ est sur la bissectrice intérieure de $\widehat{A}$ donc, d’après la caractérisation de la bissectrice, $\Omega$ est équidistant des côtés $[AB]$ et $[AC]$ .

$\Omega$ est sur la bissectrice intérieure de $\widehat{B}$ donc $\Omega$ est équidistant des côtés $[BC]$ et $[AB]$ , par conséquent $\Omega$ est équidistant des côtés $[BC]$ et $[AC]$ , le sens réciproque de cette même caractérisation permet de conclure que $\Omega$ est sur la bissectrice de $\widehat{C}$ .

15.12 Orthocentre

Aire du triangle.

Concours des hauteurs.

orthocentrePreuve

15.13 Théorème de Thalès

Théorème direct.

thalesPreuve

Théorème réciproque.

15.14 Triangles semblables

Premier cas de similitude.

Deuxième cas de similitude.

Troisième cas de similitude.

16. Compléments

16.1 Vocabulaire

Dans un triangle ABC, on prolonge [BC] par la demi-droite [Cz), l’angle $\widehat{ACz}$ est un angle extérieur du triangle ABC.

angleExterieur

Un triangle obtusangle a un angle obtus.

triangleObtusangle

Un triangle acutangle n’a que des angles aigus.

triangleActutangle

Un triangle scalène n’a pas deux côtés égaux.

triangleScalene

16.2 Triangles égaux

Théorème. Si deux triangles ont un angle inégal compris entre deux côtés respectivement égaux alors les troisièmes côtés sont inégaux et au plus grand angle est opposé le plus grand côté.

trianglesInegaux

Réciproquement, si deux triangles ont deux côtés respectivement égaux et le troisième côté inégal alors les angles opposés aux côtés inégaux sont inégaux et au plus grand côté est opposé le plus grand angle.

trianglesInegauxPreuveA

trianglesInegauxPreuveB

Théorème. Si deux triangles ont deux côtés respectivement égaux ainsi que l’angle opposé au plus grand d’entre eux alors ces deux triangles sont égaux.

16.3 Le triangle isocèle

Théorème. Dans un triangle, si deux côté sont inégaux alors les angles opposés sont inégaux et au plus long côté est opposé le plus grand angle. Dans le triangle ABC, si $BC > AC$ alors $\widehat{A}>\widehat{B}$ .

trangleCoteAngle

Réciproquement, si deux angles sont inégaux alors les côtés opposés sont ingaux et au plus grand angle est opposé le plus long côté. Si $\widehat{A}>\widehat{B}$ alors $BC>AC$ .

16.4 Inégalités dans le triangle

Théorème. Si un point M est situé à l’intérieur d’un triangle ABC, alors

$BC<BM+MC<BA+AC$

inegaliteTriangulaire2

15.5 Angles

Théorème. Dans un triangle, un angle extérieur est égal à la somme des angles intérieurs non adjacents à cet angle.

angleExterieurDecompose

Théorème. Si un point M est situé à l’intérieur d’un triangle ABC, alors l’angle $\widehat{BMC}$ est supérieur à l’angle $\widehat{BAC}$

angleTriangleInterieur

16.8 Centre de gravité

Théorème. Dans un triangle ABC, si un point M est sur la médiane issue de A alors il forme des triangles AMB et AMC d’aires égales.

medianeAires

Réciproquement, si un point situé à l’intérieur d’un triangle ABC forme des triangles AMB et AMC d’aires égales alors le point M est sur la médiane issue de A.

medianesPreuveB

Théorème. Chaque bissectrice du triangle médian IJK du triangle ABC, partage le périmètre de ABC en deux lignes brisées d’égales longueurs.

Le centre de gravité du périmètre de ABC est le point de concours des bissectrices de sont triangle médian IJK.

16.11 Bissectrice et cercles exinscrits

Théorème. Dans un triangle, la bissectrice d’un angle intérieur partage le côté opposé en segments proportionnels aux côtés de l’angle.

piedBissectrice

$\cfrac{c'}{c}=\cfrac{b'}{b}$

Réciproquement, si une droite issue du sommet d’un angle partage le côté opposé en segments proportionnels aux côtés de l’angle alors cette droite est la bissectrice de cet angle.

piedBissectriceA

Ce théorème permet de faire une nouvelle preuve du concours des bissectrices des angles intérieurs.

concoursBissecrices

concoursBissectricesA

concoursBissectricesB

Théorème. Dans un triangle, la bissectrice d’un angle intérieur et les bissectrices des angles extérieurs non adjacents à cet angle sont concourantes. Le point de concours est le centre d’un cercle tangent aux prolongements des côtés du triangle.

cerclesExinscrits

16.12 Orthocentre

orthocentrePreuveA

orthocentrePreuveB

orthocentrePreuveC

Théorème. Dans un triangle, l’orthocentre partage chaque hauteur en segments dont le produit est constant.

$HA\times HA'=HB\times HB'=HC\times HC'$

orthocentrePartage

Théorème. Dans un triangle ABC, les hauteurs issues de B et C coupent le cercle circonscrit aux points respectifs $B''$ et $C''$ , le point A partage l’arc $\overset{\frown}{B''C''}$ en deux arcs égaux.

hauteursCercleCirconscrit

Théorème. Dans un triangle ABC, les pieds A’, B’, C’ des hauteurs et les milieux I, J, K des côtés sont sur un même cercle qui coupe les segments [HA], [HB], [HC] en leurs milieux.

Ce cercle est appelé cercle d’Euler ou cercle des neufs points.

cerckeNeufPoints