Le vocabulaire du calcul littéral

constante
développer
distributivité
égalité
équation
équation produit nul
équivalentes
expression littérale
factoriser
facteur
identité
identités remarquables
inconnue
inégalité
inéquation
membre
partie littérale
résoudre
semblables
simplifier
solution
tester
valeur
variable

1. Expression littérale

Une expression littérale est l’écriture d’un calcul portant sur des nombres donnés et (au moins) un nombre désigné par une lettre.

Exemple. $5\times 8 + 5\times x$

Les nombres donnés sont 5 et 8.

La valeur de $x$ est le nombre que cette lettre désigne.

On désigne par une lettre :

un nombre dont la valeur peut changer, on dit que c’est une variable,
un nombre dont la valeur est inconnue, on dit que c’est une inconnue.

Exemple.

Le périmètre d’un cercle est donné par l’expression $2\times \pi\times R$

La lettre $R$ est une variable, mais la lettre $\pi$ désigne un nombre ni inconnu, ni variable, c’est une constante.

2. Égalités – identités

Une égalité est une écriture comportant le symbole = . L’expression qui précède le symbole = est le premier membre de l’égalité, l’expression qui suit le = est le second membre.

Exemple. $5\times x+4=9\times x$

Le premier membre est $5\times x+4$ , le second membre est $9\times x$ .

Tester une égalité pour une valeur de $x$ signifie calculer chaque membre en remplaçant $x$ par cette valeur, et comparer les deux résultats.

Exemple. On teste l’égalité précédente pour $x=10$
$5\times x+4=5\times 10+4=50+4=\boxed{54}$
$9\times x=9\times 10=\boxed{90}$
Les résultats sont inégaux donc l’égalité est fausse pour $x=10$ .

Une identité est une égalité qui est vraie quelles que soient les valeurs des variables.

Exemple. $x+x+x=3\times x$ est vraie quelle que soient la valeur de $x$

On note cela $x+x+x\equiv 3\times x$

3. Distributivité

Les égalités suivantes sont vraie quels que soient les valeurs de $a,\;b,\; c$ et $d$ :
$a\times (b+c)=a\times b+a\times c$
$a\times (b-c)=a\times b-a\times c$
$a\times (b+c-d)=a\times b+a\times c-a\times d$
On dit que la multiplication est distributive par rapport à l’addition ou à la soustraction.

Exemple 1. $5\times (x+8)=5\times x+5\times 8$

On dit qu’on a développé le produit $5\times (x+8)$ .

Exemple 2. $4\times 7+4\times x=4\times (7+x)$

On dit qu’on a factorisé la somme $4\times 7+4\times x$ et qu’on a mis 4 en facteur.

Pour factoriser la somme de deux produits, ces produits doivent avoir un facteur commun.

Exemple. Dans la somme $5\times 9+9\times x$ les produits $5\times 9$ et $9\times x$ on le facteur commun 9, on peut factoriser la somme : $5\times 9+9\times x=9(5+x)$ .

Les identités suivantes sont appelées identités remarquables :
$(a+b)^2\equiv a^2+2ab+b^2$
$(a-b)^2\equiv a^2-2ab+b^2$
$(a+b)(a-b)\equiv a^2-b^2$

4. Produits semblables – simplifications

Un produit est l’écriture d’une multiplication, les nombres multipliés sont les facteurs du produit.

Dans un produit dont certains facteurs sont variables ou inconnus, la partie littérale est le produit de ces facteurs variables ou inconnus.

Exemple. Dans le produit $3\times x\times 5\times y$ , la partie littérale est $x\times y$ .

Deux produits qui ont la même partie littérale sont dits semblables.

Exemple. On donne les produits $3\times x$ ; $3\times x^2$ ; $x\times 5$ ; $5\times x\times y$ .

Seuls les produits $3\times x$ et $x\times 5$ sont semblables, leur partie littérale est $x$

Simplifier une expression signifie écrire cette expression en utilisant le moins de symboles possibles.

Exemples.
$x\times x$ s’écrit $x^2$
$8\times x$ s’écrit $8x$
$5x\times 2x+x^2=5\times 2\times x\times x+x^2=10x^2+x^2=11x^2$

5. Équations

Une équation est une égalité dont les lettres sont des inconnus. Les valeurs de ces inconnus pour lesquelles l’égalité est vraie sont les solutions de l’équation.

Exemple. Soit l’équation $4x+5=13$
pour $x=2$ on a $4x+5=4\times 2+5=8+5=\boxed{13}$
donc 2 est une solution de l’équation.

Des équations sont dites équivalentes lorsqu’elles ont les mêmes solutions. Résoudre une équation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.

Exemple.

Les équations $4x=5$ et $4x+1=6$ sont équivalentes car :

si $x=1,25$ on a $4x=4\times 1,25=\boxed{5}$ et $4x+1=4\times 1,25+1=5+1=\boxed{6}$
Si $x\not=1,25$ on a $4x\not=5$ et $4x+1\not=6$

Donc les deux équations ont comme seule solution $1,25$ .

Une équation produit nulle est une équation dont le premier membre est un produit et dont le second membre est 0.

Exemple. $x(x+1)=0$ est une équation produit nul.

6. Inéquations

Tester une inégalité pour une valeur de $x$ signifie calculer chaque membre en remplaçant $x$ par cette valeur, et comparer les deux résultats.

Exemple. Soit l’inégalité $4x+5\leqslant 20$
pour $x=2$ on a $4x+5=4\times 2+5=8+5=\boxed{13}$
donc l’inégalité est vraie pour $x=2$

Des inégalités équivalentes sont vraies pour les mêmes valeurs des variables et fausses pour les mêmes valeurs des variables.

Une inéquation est une inégalité dont les lettres sont des inconnus. Les valeurs de ces inconnus pour lesquelles l’inégalité est vraie sont les solutions de l’équation.

Résoudre une inéquation signifie trouver toutes les solutions de cette équation.