Théorèmes, axiomes et définitions

Un théorème est un énoncé mathématique qui a été prouvé.

Un énoncé mathématique ou « proposition » comporte des hypothèses et une conclusion. Pour le prouver on admet les hypothèses comme vraies et on cherche à justifier la conclusion à l’aide d’autres théorèmes (déjà démontrés).

On voit que certains énoncés ne pourront être prouvés et devront être pris pour vrais afin de démontrer les premiers théorèmes. Parfois ces énoncés paraissent évidents, pour les autres on se contente de les admettre comme vrai.

Ces énoncés admis sans preuve s’appellent des axiomes.

Voici un théorème : « si deux droites sont parallèles à une même troisième droite alors les deux droites sont parallèles entre elles ».

Pour le prouver, on admet l’hypothèse : « deux droites (a) et (b) sont parallèles à une troisième droite (c) », on cherche à justifier la conclusion : « les droites (a) et (b) sont parallèles entre elles ».

Il suffit de montrer que si (a) et (b) ont un point commun M alors elles sont confondues.

On utilise l’axiome suivant : « par un point extérieur à une droite il ne passe qu’une seule droite parallèle à cette droite ».

Comme (a) et (b) passent par le point M et sont parallèles à la droite (c), il suit que (a) et (b) sont confondues.

Une définition mathématique porte sur des objets ou des relations mathématiques.

Par exemple : « deux droites parallèles sont des droites qui n’ont aucun point commun ou qui sont confondues ». Les objets mathématiques de cette définition sont les droites et les points.

On voit que certains objets mathématiques ne pourront avoir une définition mathématique. On devra les utiliser en considérant les relations qu’ils ont avec les autres objets mathématiques.

La définition suivante n’est pas mathématique : « un point est un lieu sans dimension », à moins de donner des définitions mathématiques des mots : « lieu » et « dimension ». Cela n’empêche pas de considérer qu’un point appartienne ou n’appartienne pas à une droite.

Le sens des objets mathématiques se construit à travers les axiomes et les théorèmes portant sur eux.

Une propriété caractéristique d’un objet mathématique est un énoncé qui n’est vrai que pour cet objet. On peut définir un objet en utilisant l’une de ses propriétés caractéristiques.

Les propriétés suivantes sont caractéristiques du parallélogramme :

• un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux

• un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu

• au quadrilatère non croisé dont les côtés opposés sont égaux deux à deux

Si la première propriété est choisie comme définition, les autres se présentent comme des théorèmes :

• si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses diagonales se coupent en leur milieu. Réciproquement, si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors c’est un parallélogramme.
• Si un quadrilatère est un parallélogramme alors il est non croisé et ses côtés opposés sont égaux deux à deux. Réciproquement, si un quadrilatère non croisé a ses côtés opposés égaux deux à deux alors c’est un parallélogramme.

Il est possible que la définition d’un objet ou d’une relation comporte plusieurs propriétés caractéristiques.

Par exemple, on dit que deux triangles sont égaux lorsqu’ils ont leurs angles respectivement égaux et les côtés respectivement égaux.

Or l’énoncé suivant est un théorème : « si deux triangles ont les côtés respectivement égaux alors les deux triangles sont égaux ».

La propriété « avoir les côtés respectivement égaux » est caractéristique des triangles égaux.

Le choix d’une ou de plusieurs propriétés caractéristiques dans la définition d’un objet ou d’une relation dépend de l’auteur d’un cours. Parfois ce dernier décide de ne pas choisir. Il énonce un théorème affirmant que plusieurs propriétés sont équivalentes, ensuite il définit un objet comme « vérifiant l’une des propriétés équivalentes » du théorème.

L’énoncé suivant peut-être prouvé : « Soit ABC un triangle, les propriétés suivantes sont équivalentes :

• Les côtés du triangle ABC sont égaux

• Les angles du triangle ABC sont égaux.

Après avoir énoncé ce théorème, on peut donner la définition suivante : « un triangle ABC est équilatéral lorsqu’il possède l’une des propriétés équivalentes précédentes ».