Bissectrice d’un triangle rectangle

Dans le triangle ABC rectangle en A, la bissectrice de l’angle $\widehat{B}$ coupe le côté $[AC]$ au point $D$ . On a $AD=8\,cm$ et $DC=10\,cm$ . Calculer la longueur du côté $[AB]$ .

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On peut utiliser un triangle ECD semblable au triangle ABC.

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On abaisse la perpendiculaire à $(BC)$ passant par le point $D$ , elle coupe le segment $[BC]$ au point $E$ .

Le point $D$ étant sur la bissectrice de l’angle $\widehat{ABC}$ , ce point est équidistant des côtés de l’angle c’est à dire $DE=DA=8\,cm$ .

Le triangle $ECD$ est rectangle en $E$ , d’après le théorème de Pythagore, $CD^2=DE^2+EC^2$ , d’où $10^2=8^2+EC^2$ , $EC^2=100-64=36$ et $EC=\sqrt{36}=6\,cm$ .

Dans les triangles $ECD$ et $ABC$ ,

l’angle $\widehat{C}$ est commun.
$\widehat{E}=\widehat{A}=90^\circ$

C’est le premier cas de similitude, donc les triangles $ECD$ et $ABC$ sont semblables, d’où $\cfrac{AB}{DE}=\cfrac{AC}{EC}$ et $\cfrac{AB}{8}=\cfrac{18}{6}=3$ , par conséquent $AB=3\times 8=24\,cm$ .

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On note $\theta$ l’angle $\widehat{B}$ .

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ donc $tan(2\theta)=\cfrac{AC}{AB}=\cfrac{18}{AB}$ et $tan(\theta)=\cfrac{8}{x}$ .

Or $tan(2\theta)=\cfrac{2\cdot tan(\theta)}{1-tan^2(\theta)}$ , ce qui s’écrit aussi $tan(2\theta)(1-tan^2(\theta))=2\cdot tan(\theta)$ .

En effectuant les substitutions, on a $\cfrac{18}{AB}\left(1-\cfrac{8^2}{AB^2}\right)=2\cfrac{8}{AB}$ , en multipliant chaque membre par $\cfrac{AB}{18}$ on obtient $1-\cfrac{64}{AB^2}=\cfrac{8}{9}$ . Il suit $\cfrac{64}{AB^2}=1-\cfrac{8}{9}=\cfrac{1}{9}$ et $AB^2=64\cdot 9$ .